9个方向添加辅助线 事半功倍！(3)

　　（2）见直径作圆周角

　　在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。

　　（3）见切线作半径

　　命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。

　　（4）两圆相切作公切线

　　对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

　　（5）两圆相交作公共弦

　　对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。

　　三、作辅助线的方法

　　1、中点、中位线，延线，平行线。

　　如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

　　2、垂线、分角线，翻转全等连。

　　如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。

　　3、边边若相等，旋转做实验。

　　如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。

　　4、造角、平、相似，和、差、积、商见。

　　如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”

　　托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）

　　5、两圆若相交，连心公共弦。

　　如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。

　　6、两圆相切、离，连心，公切线。

　　如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。

　　7、切线连直径，直角与半圆。

　　如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。

　　如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。

　　8、弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。

　　如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。

　　如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。

　　如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。

　　有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。

　　9、面积找底高，多边变三边。

　　如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。

　　如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。

　　另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。
 

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